Podrobne

Pridáva sa capicúas

Pridáva sa capicúas

Juan chcel pridať všetky štvormiestne čísla capicúa, ale zabudol pridať jedno z nich.

Na aké číslo ste zabudli, ak bola získaná suma 490776?

Riešenie

Pokúsime sa nájsť skratku na pridanie všetkých capicúas, ktoré mal Juan pridať, a potom odpočítame sumu, ktorú získal. Toto určí, ktorý z nich sa prestal pridávať.

Keďže by sme mali nad sebou napísať všetky štyri štvormiestne capicúas, prvou vecou, ​​ktorú by sme mali zvážiť, je systém, ktorým sa ubezpečíme, že ich máme všetky a potom spočítame, koľko čísel z každej triedy sme použili.

Prvé a posledné číslo každého čísla (počet jednotiek a počet tisíc jednotiek) sa musí rovnať a nesmie byť nula, pretože toto číslo by sa považovalo iba za tri čísla. Takže pre prvé číslo máme deväť možností. Druhé a tretie, ktoré sú si rovné, môžu mať hodnotu ľubovoľného čísla vrátane nuly, takže máme desať možností.

Ak sa pozriete, keď ich vložíte do stĺpca (ktorý bude veľmi vysoký), každá z deviatich čísiel jednotiek sa objaví opakovaných desaťkrát (pretože ak nastavíme jednu z nich, dokážeme napísať iba desať rôznych capicúas), takže súčet tohto stĺpca bude (1 + 2 +… + 9) * 10 = 10 * (1 + 9) * 9/2 = 450. Do jednotiek súčtu vložím 0 a vezmem 45.

V stĺpci desiatok sa však objaví desať rôznych čísiel, ktoré sa však opakujú každých deväťkrát. Súčet bude 9 * (0 + 1 +… + 9) = 9 * (9 + 0) * 10/2 = 405. K tomuto číslu musíme pripočítať 45, ktoré berieme, čo nám dáva celkom 450. opäť dáme nulu a dostaneme 45.

V stĺpci stoviek bude suma presne rovnaká ako suma desiatok, ktoré sú na to capicúas, a dá opäť 405. Keď sme si vzali 45, vráti sa na 450, opäť 0 a dostaneme 45.

V poslednom stĺpci, ktorý je tisíckou jednotiek, je suma rovnaká ako suma jednotiek 450. Ak pripočítame zvyšných 45 tisíc jednotiek zo stoviek, máme 495, čo je konečný počet jednotiek tisíc máme.

Celkom by suma mala predstavovať 495 000. Ako Juan vypočítal 490776, vidíme, že rozdiel je presne 4224, ako by to mohlo byť inak, je capicúa a práve ten chýba.